Египетский треугольник свойства


Египетский треугольник по Пифагору

Не исключено, что, термин «Египетский треугольник» дал Пифагор, побывав по настоянию Фалеса в Египте…

«… в данном очерке нас интересует именно непрактический, неприкладной аспект математики, мы предполагаем весьма и весьма поучительным включение в «джентльменский набор» математических представлений знание того, почему треугольник со сторонами 3, 4, 5 назывется египетским.

А всё дело в том, что древнеегипетские строители пирамид нуждались в способе построения  прямого угла. Вот требуемый способ. Веревка разбивается на 12 равных частей, границы между соседними частями помечаются, а концы верёвки соединяются. Затем верёвка натягивается тремя людьми так, чтобы она образовала треугольник, а расстояния между соседними натягивателями составляли бы, соответственно, 3 части, 4 части и 5 частей. В таком случае треугольник окажется прямоугольным, в коем стороны 3 и 4 будут катетами, а сторона 5 - гипотенузой, так что угол между сторонами 3 и 4 будет прямым.

Боюсь, что большинство читателей в ответ на вопрос «Почему треугольник окажется прямоугольным?» сошлётся на теорему Пифагора: ведь три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате. Однако теорема Пифагора утверждает, что если треугольник прямоугольный, то в этом случае сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей.

Здесь же используется теорема, обратная к теореме Пифагора: если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то в этом случае треугольник прямоугольный. (Не уверен, что эта обратная теорема занимает должное место в школьной программе.)».

Успенский В.А., Апология математики, или о математике как части духовной культуры, журнал «Новый мир», 2007 г., N 11, с. 131.

vikent.ru

Расчет острых углов египетский треугольник. Египетский треугольник. Прямой угол без инструмента. Как нам это может помочь? Все очень просто.

Ка-ж-дый, кто внимательно слушал в школе преподавателя геометрии, очень хорошо знаком с тем, что представляет собой египетский треугольник. От других видов подобных с углом в 90 градусов он отличается особым соотношением сторон. Когда человек впервые слышит словосочетание «египетский треугольник», на ум приходят картины величественных пирамид и фараонов. А что же говорит история?

Эксперты египетской геометрии назывались «арпедонапти», те, кто связывают веревки. Именно затягивая веревки, они нарисовали две простейшие и наиболее важные линии в геометрии: прямую линию и круг. Во-первых, просто затягивая веревку между двумя точками, вид операции, изображение которой все еще присутствует в выражениях «рисовать линию», «рисовать перпендикуляр»; Второй, заставляя одну из двух точек поворачиваться вокруг другой, которая удерживается фиксированной. Могут ли они представить себе степень развития этих двух элементарных практик?

Как это всегда бывает, в отношении названия «египетский треугольник» есть несколько теорий. Согласно одной из них, известная теорема Пифагора увидела свет именно благодаря данной фигуре. В 535 году до н.э. Пифагор, следуя рекомендации Фалеса, отправился в Египет с целью восполнить некоторые пробелы в познаниях математики и астрономии. Там он обратил внимание на особенности работы египетских землемеров. Они очень необычным способом выполняли построение с прямым углом, стороны которой были взаимосвязаны одна с другой соотношением 3-4-5. Данный математический ряд позволял относительно легко связать квадраты всех трех сторон одним правилом. Именно так и возникла знаменитая теорема. А египетский треугольник как раз и есть та самая фигура, натолкнувшая Пифагора на гениальнейшее решение. Согласно другим историческим данным, фигуре дали название греки: в то время они часто гостили в Египте, где могли заинтересоваться работой землемеров. Существует вероятность, что, как это часто бывает с научными открытиями, обе истории произошли одновременно, поэтому нельзя с уверенностью утверждать, кто же придумал первым название «египетский треугольник». Свойства его удивительны и, разумеется, не исчерпываются одним лишь соотношением размеров сторон. Его площадь и стороны представлены целыми числами. Благодаря этому применение к нему теоремы Пифагора позволяет получить целые числа квадратов гипотенузы и катетов: 9-16-25. Конечно, это может быть простым совпадением. Но как в таком случае объяснить тот факт, что египтяне считали «свой» треугольник священным? Они верили в его взаимосвязь со всей Вселенной.

На самом деле практические потребности древних землемеров, возможно, вскоре вызвали необходимость таких работ, которые сегодня мы называем «квадратом и компасом», и это наиболее правильно следует назвать «кругами и прямыми». В настоящее время естественно рассматривать бумагу как естественную арену геометрии, так что мы понимаем использование квадратов и компасов в одиночку, как произвольный предел, введенный спекулятивными духами, которые предпочли несколько чисел аксиом на множество удобств, вытекающих из Множество инструментов.

Следовательно, разница между экспертом по теоретической геометрии. Таким образом, мы склонны игнорировать полностью геометрию «в поле» в пользу этого «на бумаге», что не позволяет понять, что при передаче геометрических операций от поля к бумаге они потребуют иногда совершенно разных методов и методов.

После того, как информация об этой необычной геометрической фигуре стала общедоступной, в мире начались поиски других подобных треугольников с целочисленными сторонами. Было очевидно, что они существуют. Но важность вопроса состояла не в том, чтобы просто выполнить математические расчеты, а проверить «священные» свойства. Египтяне, при всей своей необычности, никогда не считались глупыми - ученые до сих пор не могут объяснить, как именно были возведены пирамиды. А здесь, вдруг, обычной фигуре приписывалась связь с Природой и Вселенной. И, действительно, найденная клинопись содержит указания о подобном треугольнике со стороной, размер которой описывается 15-значным числом. В настоящее время египетский треугольник, углы которого равны 90 (прямой), 53 и 37 градусов, находят в совершенно неожиданных местах. К примеру, при изучении поведения молекул самой обыкновенной воды, выяснилось, что смена сопровождается перестройкой пространственной конфигурации молекул, в которой можно увидеть…тот самый египетский треугольник. Если вспомнить, что состоит из трех атомов, то можно говорить об условных трех сторонах. Конечно, о полном совпадении знаменитого соотношения речь не идет, но получаемые числа очень и очень близки к искомым. Не потому ли египтяне признавали за своим «3-4-5» треугольником символический ключ к природным явлениям и тайнам Вселенной? Ведь вода, как известно, основа жизни. Без сомнения, еще слишком рано ставить точку в изучении знаменитой египетской фигуры. Наука никогда не спешит с выводами, стремясь доказать свои предположения. А нам же остается лишь ждать и удивляться знаниям

Не следует забывать о том, что точность плана гораздо важнее, чем на бумаге. Архитектор, который имеет четкое представление об общем плане и который помнит процесс, который он выполнял, чтобы пройти через него, нуждался бы в проекте. Сравнительно недавние, а также старые карты, которые неизбежно были нарисованы рудиментарными инструментами и опорами, не воспроизводят границы участка земли точно. На самом деле это невозможно, потому что даже ошибка процентного пункта - наименьшее, что может произойти в достаточно больших масштабах - породила бы абсолютную ошибку, которую вряд ли можно было бы принять на поле.

О египетском треугольнике и его свойствах хорошо известно ещё с древних времён. Эта фигура широко применялась в строительстве для разметки и построения правильных углов.

История египетского треугольника

Создателем этой геометрической конструкции является один из величайших математиков древности Пифагор. Именно благодаря его математическим изысканиям мы можем в полной мере использовать все свойства данного геометрического построения в строительстве.

В этом случае знание формы и меры объекта, которое должно быть описано, являются фундаментальными; это будет не до специалиста по геометрии для воспроизведения на поле точности, отсутствующей на бумаге. То же самое происходит с математиком, которому точность показаний вовсе не пригодится в демонстрациях. Геометрия на бумаге заменяет точность операций на поле с геометрией психического процесса.

Напротив, от логики до материальной точности, как следствие необходимого расширения масштаба, чтобы перейти от плана к фактическому его созданию, действие затягивания веревки оставалось одной из основных операций, поскольку до тех пор, пока Древний Египет и Древняя Греция. Эта практика оставалась неизменной до настоящего времени, передаваемой только изобретением и усовершенствованием некоторых оптических инструментов. Хотя на бумаге довольно легко нарисовать перпендикуляр с помощью правителей и квадратов, то же действие на поле с той же степенью точности требует радикально разных методов.

Можно предположить, что математические навыки позволили Пифагору заметить закономерность в формах строения. Дальнейшее развитие событий можно легко представить. Базовый анализ и построение выводов создали одну из самых значимых фигур в истории. Скорее всего, в качестве прообраза была выбрана именно пирамида Хеопса из-за своих практически совершенных пропорций.

В поле квадрат бесполезен, потому что он слишком мал по отношению к размерам форм. Даже если квадрат чрезвычайно точен, перпендикуляр, который он может нарисовать, достигнет своего самого большого или меньшего метра. Если нам нужно отметить квадрат 30 метров на сторону, мы должны продлить эту линию 30 раз. Это была бы такая неточная операция, что, вероятно, это привело бы к тем же результатам, как если бы мы измерили правильный угол примерно.

Эти размышления возвращают нас к первоначальному вопросу: какие методы использовались египетскими измерителями для рисования квадратного куска земли? Как они получили квадратный угол? Поэтому, если мы растягиваем кольцевой канат длиной 12 единиц, отмеченный в трех точках на расстоянии 3, 4 и 5, в виде треугольника с вершиной в отмеченных точках угол между кратчайшими сторонами треугольник - это прямой угол.

Египетский треугольник в строительстве

Свойства этой уникальной геометрической конструкции заключаются в том, что её построение без применения каких-либо инструментов позволяет построить дом с правильными во всех соотношениях углами.

Важно! Конечно, в идеале лучшим вариантом будет использование транспортира или угольника.

Неизвестно, был ли этот процесс древними землемерниками в свое время, поскольку не доказано, что древние египтяне знали, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным треугольником. Даже если они знают об этом или о других пифагорейских треугольниках, это обязательно означает, что они знали природу или, по крайней мере, как создать правильный угол.

Откуда взялись эти знания? Из-за отсутствия даже частичной документации и свидетелей мы можем попытаться подойти к проблеме с другой точки зрения, математической, а не исторической. Вопрос, который мы должны задать, - это то, что делает правильный угол отличным от других? Или лучше, что является особенностью угла треугольника со сторонами 3, 4 и 5?

Итак, качества египетского треугольника позволяют делать правильные во всех соотношениях углы. Стороны конструкции имеют следующее соотношение друг к другу:

Чтобы проверить ту ли фигуру вы начертили, используйте хорошо известную ещё со школьной скамьи Теорему Пифагора.

Внимание ! Свойства египетского треугольника таковы, что квадрат гипотенузы равен квадратам двух катетов.

Непосредственный ответ: в отличие от других треугольников, пифагорейские и наиболее простейшие из них, со сторонами 3, 4 и 5, могут быть сделаны, чтобы объединить их с одной стороны, а затем снова с другой. Таким образом получается симметричная конфигурация, которая полностью заполняет все свободное пространство без перекрытия или зазоров.

Никакой другой угол, но правильный имеет эту симметричную характеристику, которая становится ее собственным определением в первой полной книге геометрии, которая когда-либо достигала нашего времени, Элементы Евклида. Когда прямая линия, падающая на другую, образует равные углы, они являются правильными.

Для лучшего понимания возьмём приведенную выше зависимость и составим небольшой пример. Умножим пять на пять. В результате чего получим гипотенузу равную 25. Вычислим квадраты двух катетов. Они составят 16 и 9. Соответственно их сумма будет двадцать пять.

Именно поэтому свойства египетского треугольника так часто используются в строительстве. Вам достаточно взять заготовку и прочертить прямую линию. Её длина всегда должна быть кратной 5. Затем нужно наметить один край и отмерять от него линию кратную 4, а от второго 3.

Характер квадратного угла заключается в том, что углы, возникающие в результате пересечения двух прямых, равны. Это можно сразу же продемонстрировать на бумаге, складывая бумагу вдоль одной из сходящихся линий и проверяя, что другая линия сгибается сама по себе.

Это свойство обладает «классической» геометрической конструкцией, состоящей в маркировке двух кругов, а затем объединении их перекрестков. Симметричный характер формы достаточно очевиден, и это явное доказательство равенства углов. Более того, в отличие от пифагорейского треугольника, который нуждается в дальнейшей конструкции, в этом случае форма сразу предлагает определение квадратного угла через равенство углов и в одно и то же время, строит себя.

Внимание ! Длина каждого отрезка составит 4 и 3 см (при минимальных значениях). Пересечение этих прямых образует прямой угол, равняющийся 90 градусам.

Альтернативные способы построить прямой угол на 90 градусов

Как уже упоминалось выше, наилучшим вариантом будет просто взять угольник или транспортир. Эти инструменты позволяют с наименьшими затратами времени и сил добиться нужных пропорций. Главное же свойство египетского треугольника заключается в его универсальности. Фигуру можно построить, не имея в арсенале практически ничего.

Это все еще простые предположения. Без сомнения, этот процесс определенно проще и с большей точностью, чем первый. Можно сказать так, что мы можем только отметить перпендикуляр, проходящий через центр данного сегмента, также называемый осью отрезка. Тем не менее, нетрудно заметить, что если нам нужен перпендикуляр на одном краю, как в случае рисования квадрата, необходимо удвоить сегмент, продлевая его до того места, где мы хотим нарисовать перпендикуляр, а затем повторить Предшествующий процесс.

Необходимо отметить, что все эти методы особенно подходят для плоских земель, таких как египетская равнина. Чтобы лучше понять некоторые проблемы, связанные с самолетами и двигателями, необходимо использовать некоторые математические идеи из тригонометрии для изучения треугольников. Начнем с некоторых определений и терминологии, которые мы будем использовать на этом слайде. Начнем с правильного треугольника. Правый треугольник представляет собой трехгранную фигуру с одним углом, равным 90 градусам.

Сильно в построении прямого угла помогают простые печатные издания. Возьмите любой журнал или книгу. Дело в том, что в них соотношение сторон всегда составляет ровно 90 градусов. Типографические станки работают очень точно. В противном случае рулон, который заправляется в станок, будет резаться непропорциональными кривыми углами.

Угол 90 градусов называется прямым углом, и именно там правый треугольник получает свое название. Это самая длинная сторона трех сторон правого треугольника. Слово «гипотенуза» происходит от двух греческих слов, означающих «растянуть», поскольку это самая длинная сторона.

Теорема Пифагора - это утверждение, связывающее длины сторон любого правого треугольника. Для любого правого треугольника - квадрат гипотенузы. равна сумме квадратов двух других сторон. Математически это написано. Эта теорема известна во многих культурах многими именами на протяжении многих лет. Считается, что он изучил теорему во время учебы в Египте. Вероятно, египтяне знали об отношениях за тысячу лет до Пифагора.

Как получить египетский треугольник при помощи верёвки

Свойства этой геометрической фигуры тяжело переоценить. Неудивительно, что инженерами древности было придумано множество способов её образования с использованием минимальных ресурсов.

Одним из самых простых считается метод образования египетского треугольника со всеми его вытекающими свойствами посредством простой верёвки. Возьмите бечёвку и разрежьте её на 12 абсолютно ровных частей. Из них сложите фигуру с пропорциями 3, 4 и 5.

Пифагор обобщил результат на любой правый треугольник. Существует множество различных алгебраических и геометрических доказательств теоремы. Большинство из них начинается с построения квадратов на эскизе основного правого треугольника. На рисунке вверху этой страницы мы показываем квадраты, нарисованные на трех сторонах треугольника. Квадрат - это особый случай прямоугольника, в котором все стороны равны по длине. Таким образом, для квадрата со стороной, равной а, площадь определяется следующим образом.

Начнем с правого треугольника, на котором мы построили квадраты с двух сторон, один красный и один синий. Мы собираемся разбить кусочки этих двух квадратов и перенести их в область серого квадрата на гипотенузе. Мы не потеряли ни одного материала во время операции. Поэтому, если мы сможем точно заполнить квадрат гипотенузы, мы показали, что области равны.

Как построить угол в 45, 30 и 60 градусов

Безусловно, египетский треугольник и его свойства очень полезны при постройке дома. Но без других углов вам обойтись всё-таки не удастся. Чтобы получить угол, равняющийся 45 градусам, возьмите материал рамки или багета. После чего распилите его под углом в сорок пять градусов и состыкуйте половинки друг с другом.

Что он делает? Первый шаг поворачивает треугольник вниз на синий квадрат. Это разрезает синий квадрат на три части, два треугольника и красный прямоугольник. Два треугольника точно такого же размера, как и исходный треугольник. «Нижняя» первоначального треугольника точно соответствует вертикальной стороне квадрата, так как стороны квадрата равны. Красный прямоугольник имеет свои вертикальные стороны, равные основанию исходного треугольника, а его горизонтальные стороны равны разности между «нижней» стороной и «вертикальной» стороной исходного треугольника.

Важно ! Для получения нужного наклона вырвите лист бумаги из журнала и согните его. При этом линии изгиба будут проходить через угол. Края должны совпасть.

Как видите, свойства фигуры позволяют гораздо проще и быстрее построить геометрический конструкт. Чтобы добиться соотношения сторон в 60 градусов нужно взять один треугольник на 30º и второй такой же. Обычно подобные пропорции необходимы при создании определённых декоративных элементов.

Используя терминологию с рисунка вверху этой страницы, размеры красного прямоугольника. Следующий шаг - переместить красный прямоугольник над красным квадратом. Прямоугольник торчит сверху красной площади, а два треугольника остаются на синем квадрате. Следующий шаг - переместить один из синих треугольников вертикально в квадрат гипотенузы. Он точно соответствует стороне квадрата гипотенузы, потому что стороны квадрата равны. Следующий шаг - переместить другой синий треугольник в квадрат гипотенузы.

Следующий шаг - скопировать форму исходного треугольника влево в красную область. Треугольник разрезает красную область на три части, два треугольника и небольшой желтый квадрат. Оригинальный треугольник точно соответствует этому региону по двум причинам; вертикальные стороны идентичны, а горизонтальная сторона красной области равна длине красного квадрата плюс горизонтальная длина красного прямоугольника, который мы перемещали. Горизонтальная длина красной области.

Внимание ! Соотношение сторон на 30º нужно, чтобы сделать шестиугольники. Их свойства востребованы в столярных заготовках.

Итоги

Свойства египетского треугольника широко использовались в строительстве на протяжении почти, что двух с половиной веков. Даже сейчас при недостатке инструментов строители применяют эту открытую ещё Пифагором методику, чтобы добиться ровных прямых углов.

icaev.ru

Египетский треугольник - это... Что такое Египетский треугольник?

Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

Египетский треугольник

Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.

Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к доказательству знаменитой теоремы.

Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.[источник не указан 1309 дней] В архитектуре средних веков египетский треугольник применялся для построения схем пропорциональности.

Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.

См. также

  • Магический квадрат
  • Теорема Пифагора
  • Формула Герона
  • Пифагорова тройка
Page 2
 Египетский Треугольник Прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Сумма указанных чисел (3+4+5=12) с древних времен использовалась как единица кратности при построении прямых углов с помощью веревки, размеченной узлами на 3/12 и 7/12 ее длины. Применялся в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности.Источник: Словарь архитектурно-строительных терминов

Строительный словарь.

dic.academic.ru

Египетский треугольник | Любопытные подробности обо всем на свете!

Название «египетский треугольник» появилось уже в 5 веке до н.э. Принадлежит оно прямоугольному треугольнику, стороны которого равны соответственно 3, 4 и 5.

Назван он был так потому, что очень широко применялся еще в Древнем Египте в различных сферах  жизнедеятельности.

Хотя уже тогда он был знаком людям далеко за пределами Древнего Египта, но, видимо, его уникальные свойства заметили и начали использовать впервые именно там.

В чем же состоит его отличительная особенность?

Во-первых, все его стороны и площадь — это целые числа;

во-вторых, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузе ( а это ведь теорема Пифагора, которую все знают со школы! Но о Пифагоре чуть позже);

в-третьих, это то, что с его помощью можно отмерять прямые углы в пространстве (треугольник-то прямоугольный!), а это просто необходимо, например, в строительстве;

и, в-четвертых, этот треугольник можно запросто построить с помощью простой веревки.

В пространстве достаточно сложно отложить прямой угол, (как же это сделать, когда в природе редко встретишь прямые линии, а уж тем более прямые углы, не от чего отталкиваться!), но египтяне изобрели интересный способ. Они брали веревку, отмеряли на ней узелками 12 частей, а потом складывали из нее треугольник, стороны которого равны 3 , 4 и 5 частям соответственно. В этом треугольнике прямой угол получался сам собой! А уже имея такой инструмент, они могли с большой точностью строить свои сооружения, например, пирамиды. А также использовать его для разметки земли под сельскохозяйственные работы.

А теперь про Пифагора. Египетский треугольник тесно связан с его именем.

Возможно, изучение интересных особенностей египетского треугольника и подтолкнуло Пифагора на попытку обобщения зависимостей во всех других прямоугольных треугольниках. Что ему, как известно, удалось!

Кстати, оказывается, теорема Пифагора попала в Книгу Рекордов Гиннеса как теорема с самым большим количеством доказательств (их насчитывается около 500).

lubopitnie.ru


Смотрите также

 
ООО "ЭлитСтрой" - производство и продажа пеноблоков
Карта сайта.XML.